다이나믹 프로그래밍

다이나믹 프로그래밍이란? (동적 계획법)

- 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법이다.

- 이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.

- 일반적으로 두가지 방식으로 구성된다.(top down, bottom up)

* 자료 구조에서 동적 할당은 프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법을 의미하지만, 다이나믹 프로그래밍에서 다이나믹은 별 다른 의미 없이 사용된 단어이다.

 

 - 다이나믹 프로그램인 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있다.

1) 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)

    큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.

2) 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)

    동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.

 

ex. 피보나치 수열

피보나치 수열은 다이나밍 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89

점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미하는데 피보나치 수열은 아래와 같다.

an = an-1 + an-2
a1=1, a2=1

 

파이썬 구현

 

def fibo(x):
	if x==1 or x==2:
    	return 1
    return fibo(x-1) + fibo(x-2)

 

문제) 단순 재귀함수로 피보나치 수열을 해결하면 지수 시간 복잡도를 가지게된다.

(f(2)가 여러번 호출될 수 있음.)  ➡️ 이미 해결한 문제는 기록을 하자.

 

Q. 피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍 사용 조건을 만족할까?

1) 최적 부분 구조: f(4) = f(3) + f(2)로 나누어 진다.
2) 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결한다 (f(2)가 여러번 사용)

 

하향식 방법(): 메모이제이션 (Memoization)

한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법이다.

- 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.

- 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Cashing)이라고도 한다.

 

탑 다운 (큰 것부터 계획 = 하향식) vs 보텀 업 (작은 구성부터 = 상향식)

- 다이나믹 프로그래밍은 전형적인 보텀 업 방식이다. 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.

- 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념이 아니며, 이전에 계산된 결과를 기록해 놓은 넓은 개념을 말한다.

 

탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드 (파이썬)

 

#탑 다운 (재귀)
d = [0] * 100

def fibo(x):
	if x==1 or x==2:
    	return 1
    
    if d[x] != 0:
    	return d[x]
    d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
    return d[x]
    
print(fibo(99))

#보텀 업 (반복)
d = [0] * 100
d[1]=1
d[2]=1
n=99

for i in range(3,n+1):
	d[i] = d[i-1] + d[i-2]
    
print(d[n])

 

다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복

- 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다. (큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황)

- 다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복이다. 

  다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복된다.

  분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않는다. ex.퀵 정렬

 

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

- 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요하다.

- 가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토한다. 
   다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해보자.

- 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그래밍을 작성한 뒤에 (탑 다운) 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하자.

 

문제) 개미 전사

개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량 창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량 창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져있다.

각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다.

따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량 창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량 창고를 약탈해야한다.

 

➡️해결

특정한 i번째 식량창고에 대해서 털지 안 털지 여부를 결정하면, 아래 2가지 경우 중에서 더 많은 식량을 털 수 있는 경우를 선택하면 된다.

1) i-1번째를 털면 현재 식량 창고를 털 수 없다.

2) i-2번째를 털면 현재 식량 창고를 털 수 있다.

점화식 a i = max(ai-1, ai-2 + ki)

 

파이썬 코드

 

n=int(input())
array=list(map(int, input().split()))
d=[0]* 100

d[0]=array[0]
d[1]=max(array[0],array[1])

for i in range(2,n):
    #점화식 그대로 사용하기
    d[i]=max (d[i-1],d[i-2]+array[i])

print(d[n-1])

 

문제1) 1로 만들기

정수 x가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.

1) x가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.

2) x가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.

3) x가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.

4) x에서 1을 뺀다.

 

정수 x가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들고자한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력해라.

ex. 26 -> 25 -> 5-> 1

 

점화식

ai = i를 1로 만들기 위한 최소 연산 횟수

ai = min(ai-1, ai/2, ai/3, ai/5) + 1

단 1을 뺴는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어질 때에 한해 점화식을 사용할 수 있다.

 

x=int(input())
d=[0]*3001

for i in range(2,x+1):
    d[i]=d[i-1]+1
    if i%2==0:
        d[i]=min(d[i],d[i//2]+1)
    if i%3==0:
        d[i]=min(d[i],d[i//3]+1)
    if i%5==0:
        d[i]=min(d[i],d[i//5]+1)
print(d[x])

 

문제2) 효율적인 화폐 구성

N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 

M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하라.

 

아이디어

ai= 금액 i를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수

k= 각 화폐의 단위

 

점화식: 각 화폐 단위인 k를 하나씩 확인하며
ai-k를 만드는 방법이 존재하는 경우, ai=min(ai,ai-k +1)

ai-k를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우, ai=INF

 

 

n,m=map(int(input().split()))
array=[]
for i in range(n):
    array.append(int(input()))

d=[10001] *(m+1)

d[0]=0
for i in range(n):
    #화폐 단위를 확인
    for j in range(array[i],m+1):
        #금액을 확인
        if d[j-array[i]]!=10001 :
            d[j]=min(d[j],d[j-array[i]]+1)

if d[m]==10001:
    print(-1)
else:
    print(d[m])

 

문제3) 금광

n x m 크기의 금광이 있다. 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어 있다.

채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작한다. 맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있고 이후에 m-1번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야한다. 결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성해라.

 

 

for tc in range(int(input())):
    n,m=map(int, input().split())
    array=list(map(int, input().split()))

    dp=[]
    index=0
    for i in range(n):
        dp.append(array[index:index+m])
        index+=m
    for j in range(1,m):
        for i in range(n):
            if i ==0:
                left_up=0
            else:
                left_up=dp[i-1][j-1]
            if i==n-1:
                left_down=0
            else:
                left_down=dp[i+1][j-1]
            left=dp[i][j-1]
            dp[i][j]=dp[i][j]+max(left_up,left_down,left)
    result=0

    for i in range(n):
        result=max(result,dp[i][m-1])
    print(result)

 

참고) 이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬